TÖK feladatok.

A Tudományos Önképző Kör résztvevői számára.

1. Végezzük el ezt az összeadást úgy, hogy minden betű más számot jelent:

ÉLJEN

MÁJUS

ELSEJE

Megoldási segítség: E=1, mert É+M>10, de legfeljebb 17, mert egyjegyű számok. Ezután felírhatók egyenletek, például N+S=11. Egyes esetekben próbálkozni kell, ha több részmegoldás is lehetséges.

A megoldást _____________________ mutatta be. Gratulálunk neki!

2. Két koncentrikus körön találhatók az 1-12 természetes számok az alábbi módon:

- a belső körön négy,

- a külső körön nyolc szám található úgy, hogy

- a külső körön (k) lévő számok összege a kétszerese a belsőn (b) lévők összegének:

Kérdések:

a: mely számok találhatók a belső, illetve a külső körön, ha a belsők egymás után következnek? ---- b₁+3= b₂+2= b₃+1= b₄

b: hány megoldás van, ha nem egymást követőek?

c: adjunk a megoldásnak szimmetrikus elrendezést!

Megoldási segítség: és ; vagyis a számok összege egyharmada van a belső körön a többi a külsőn. A rendszer a 13-ra és a 26-ra szimmetrikus.

A megoldást _____________________ mutatta be. Gratulálunk neki!

3. A Föld egyenlítőjének hossza 40 076 km, a Holdé 10 920 km. Tegyük fel, hogy erre kihúzunk egy kötelet. A kötélbe beletoldunk egy darabot, amelyet koncentrikus körré húzzuk az egyenlítővel.

a: mennyit kell betoldani, hogy egy ember (175cm) átférjen alatta?

b: és a Holdon?

c: van-e törvényszerűség és mi az?

Megoldási segítség: és , a toldás =k’- k.

A megoldást _____________________ mutatta be. Gratulálunk neki!

4. Elektromos hálózat felépítése. Az ábra szerint 8 db 100 ohmos ellenállást összekapcsolunk és áramforrásra kötünk. Az A és B pontok között 50V feszültséget mérünk.

Kérdések:

a: milyen teljesítményű tápegységre van szükségünk és mekkora a tápfeszültség?

b: legalább milyen teljesítményre alkalmas ellenállásokra van szükség?

Megoldási segítség: párhuzamosan kapcsolt ellenállások számítása: ;

A megoldást _____________________ mutatta be. Gratulálunk neki!

5. Pénzfizetési feladat.

Kérdések:

a: kifizethető-e egymillió forint úgy, hogy minden pénznemből ugyanannyi darabot adunk?

b: ha nem, akkor mekkora az egymillióhoz legközelebbi, így kifizethető összeg?

c: hogyan kell ezt módosítani egymillió kifizetéséhez?

Megoldási segítség: 5+10+20+50+100+200+500+1000+2000+5000+10000+20000 = . . .

A megoldást _____________________ mutatta be. Gratulálunk neki!

6. Kombinatorika.

Öt személy találkozik, akik kezet fognak egymással, mindenki, mindenkivel.

Kérdések:

a: hány kézfogás volt összesen?

b: általánosítsuk, mennyi lesz n személy esetén?

Megoldási segítség: készítsünk táblázatot, ahol a sorok, és oszlopok egyaránt a résztvevő személyek (5x5 mátrix).

A megoldást _____________________ mutatta be. Gratulálunk neki!

7. Koordinátageometria I.

Adott egy egyenes szakasz P1P2 végpontjai koordinátáival.

a: határozzuk meg a felezőpont koordinátáit!

b: határozzuk meg a szakaszt a megadott arányban osztó P pont koordinátáit!

c: mutassuk ki, hogy a megadott arány szélső értékeinél a végpontok koordinátáit kapjuk! Vagy nem?

Megoldási segítség: és felezés esetén ; stb.

A megoldást _____________________ mutatta be. Gratulálunk neki!

8. Koordinátageometria II.

Adottak egy háromszög csócsainak koordinátái.

a: mekkora a területe?

b: mi a magyarázata, ha az érték negatív?

Speciális eset, ha a három pont egy egyenesbe esik; mutassuk be, hogyan alakul el a területszámításból!

Megoldási segítség: a háromszög köré rajzolt négyzetből kivonjuk a keletkezett derékszögű háromszögek területét. Speciális eset: vegyük észre az hasonlóságot a Koordinátageometria I.-el.

A megoldást _____________________ mutatta be. Gratulálunk neki!

9. Koordinátageometria III.

Vegyünk fel egy síkkoordináta rendszerbeli egységnyi léptékű hálót; tehát a hálópontok egészszámokból álló kettősök. Bármely két hálópont összeköthető egymással. Nevezzük mindazokat az összekötő szegmenseket tiszta szegmensnek, amelyek nem érintenek más hálópontokat.

Kérdések:

a: a koordinátarendszer origójából rajzolt egység-sugarú körnek van-e és melyek a hálópontjai?

b: határozzuk meg ezeket az 5 sugarú kör esetén!

c: mekkora sugarú az a kör, amely a b:-vel hasonló tulajdonságú?

d: mi a szabályszerűség?

e: létezik-e olyan origón átmenő egyenes, amely tiszta, ha igen, akkor adjuk meg egyenletét!

Megoldási segítség: a kör analítikus egyenletének egész értékű megoldásait keressük.

A megoldást _____________________ mutatta be. Gratulálunk neki!